Calculadora de números complejos

Preguntas frecuentes

¿Cómo se multiplican los números complejos?

(a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, usando i² = −1. Para dividir, multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador para eliminar la i.

¿Qué son el módulo y el argumento?

Para a+bi, el módulo |z| = √(a²+b²) es la distancia al origen y el argumento = atan2(b, a) es el ángulo. Juntos dan la forma polar r(cosθ + i sinθ).

¿Qué es el conjugado complejo?

El conjugado de a+bi es a−bi. Multiplicar un número por su conjugado da un real, a²+b² = |z|²; es el truco clave para dividir.

¿Para qué sirven los números complejos?

Modelan circuitos de corriente alterna, procesamiento de señales (Fourier), sistemas de control y mecánica cuántica, y vuelven elegantes las raíces de polinomios y las rotaciones.

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Estimaciones solo con fines informativos.

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Cómo funciona esta calculadora

Un número complejo z = a + bi tiene una parte real a y una parte imaginaria b, donde i² = −1. La suma y la resta actúan componente a componente: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i. La multiplicación usa la propiedad distributiva con i² = −1: (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. La división multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador para que este se vuelva real: (a+bi)÷(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i] ÷ (c²+d²). El módulo |z| = √(a²+b²) es la distancia al origen en el plano complejo; el argumento θ = atan2(b, a) es el ángulo medido desde el eje real positivo. El conjugado z̅ = a − bi refleja el número sobre el eje real. La forma polar escribe z = r(cosθ + i·sinθ) = re^iθ, y vuelve trivial la multiplicación: basta multiplicar módulos y sumar argumentos.

Ejemplo resuelto: (3 + 2i) y (1 − 4i)

Suma: (3+1) + (2−4)i = 4 − 2i. Diferencia: (3−1) + (2−(−4))i = 2 + 6i. Producto: (3·1 − 2·(−4)) + (3·(−4) + 2·1)i = (3 + 8) + (−12 + 2)i = 11 − 10i. Cociente: el denominador c²+d² = 1 + 16 = 17; parte real del numerador = 3·1 + 2·(−4) = 3 − 8 = −5; parte imaginaria = 2·1 − 3·(−4) = 2 + 12 = 14, así que (3+2i)÷(1−4i) = −5÷17 + (14÷17)i ≈ −0.2941 + 0.8235i. Módulo de 3+2i = √13 ≈ 3.6056; argumento = atan2(2, 3) ≈ 33.69°. Conjugado = 3 − 2i.

Dónde se usan los números complejos

Ingeniería eléctrica: el análisis de circuitos de corriente alterna trata la impedancia como número complejo (fasores) que combina resistencia y reactancia.

Procesamiento de señales: la transformada de Fourier representa señales como sumas de exponenciales complejas e^iωt.

Teoría de control y dinámica: la estabilidad de un sistema se lee de la posición de los polos complejos en el plano s.

Mecánica cuántica: las amplitudes de probabilidad son intrínsecamente complejas; la función de onda vive en ℂ.

Errores comunes y casos límite

Olvidar que i² = −1 al multiplicar; el signo del término cruzado es el desliz más frecuente.

Dividir sin el truco del conjugado; no puedes dividir parte real e imaginaria por separado.

Usar atan(b÷a) para el argumento: pierdes el cuadrante. Usa siempre atan2(b, a), como hace esta herramienta.

La división por 0 + 0i es indefinida; el resultado se reporta explícitamente.

Confundir el módulo (una longitud, siempre ≥ 0) con la parte real, o el argumento (un ángulo) con la parte imaginaria.

Conceptos relacionados y límites

La fórmula de Euler e^iθ = cosθ + i·sinθ unifica las vistas rectangular y polar y produce la célebre identidad e^iπ + 1 = 0. El teorema de De Moivre extiende la forma polar a potencias y raíces: zⁿ tiene módulo rⁿ y argumento nθ, y todo complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas igualmente espaciadas sobre un círculo. El teorema fundamental del álgebra garantiza que todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas; es la base de la calculadora de raíces de polinomios. Aquí el argumento se reporta en grados dentro de (−180°, 180°] a partir de atan2; suma 360° si necesitas la convención positiva. Los cálculos usan precisión doble (≈ 15 dígitos significativos).

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