Calculadora de inverso modular y TCR

Preguntas frecuentes

¿Qué es un inverso modular?

El número x tal que a·x ≡ 1 (mod m). Es el análogo modular de dividir entre a y es clave en RSA y otras técnicas criptográficas.

¿Cuándo existe?

Solo cuando a y m son coprimos, es decir, mcd(a, m) = 1. Si no, no hay inverso y la calculadora lo indica.

¿Cómo se encuentra?

Con el algoritmo de Euclides extendido, que devuelve enteros x, y que cumplen a·x + m·y = mcd(a, m); x mod m es el inverso cuando el mcd vale 1.

¿Dónde se usa?

Generación de claves RSA, el Teorema Chino del Resto, hashing y resolución de congruencias lineales.

Cortesía de AllCalculators.io
Calculadoras en línea gratuitas para el día a día. Sin registro.

Estimaciones solo con fines informativos.

Aviso importante: Estimaciones solo con fines informativos.

Esta calculadora ofrece estimaciones con fines informativos. Los resultados se basan en supuestos y pueden no reflejar resultados reales. Consulta a profesionales calificados en las áreas correspondientes antes de tomar decisiones importantes basadas en estos resultados.

Se requiere JavaScript para usar la calculadora interactiva de arriba. Las preguntas y respuestas a continuación se pueden leer sin JavaScript.

Cómo funciona esta calculadora

El inverso modular de a (mod m) es el entero a⁻¹ con a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m). Existe si y solo si mcd(a, m) = 1. La herramienta corre el algoritmo de Euclides extendido, que junto con mcd(a, m) devuelve coeficientes de Bézout x, y que cumplen ax + my = mcd; cuando el mcd es 1, ese x (reducido módulo m) es el inverso. El segundo modo aplica el Teorema Chino del Resto: dado x ≡ r_i (mod m_i) con módulos coprimos dos a dos, existe una solución única módulo M = ∏m_i. Se construye explícitamente como x = ∑ r_i M_i (M_i⁻¹ mod m_i), donde M_i = M÷m_i: cada término acierta el residuo correcto para su propio módulo y se anula para los demás.

Ejemplo resuelto

Inverso de 17 (mod 43): el algoritmo de Euclides extendido da mcd = 1 con 17 × 38 − 43 × 15 = 1, así que 17⁻¹ ≡ 38. Verifica: 17 × 38 = 646 = 15 × 43 + 1, en efecto ≡ 1 (mod 43). Ejemplo con TCR: resuelve x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7). Aquí M = 105. La construcción da x = 23, y puedes comprobar 23 mod 3 = 2, 23 mod 5 = 3, 23 mod 7 = 2: el clásico acertijo de Sun Tzu del siglo III. Cada solución se diferencia en un múltiplo de 105.

Dónde se usa

RSA y criptografía: la clave privada d es el inverso modular del exponente público e módulo φ(n); el TCR acelera el descifrado RSA cerca de 4 veces.

Hashing y PRNGs: los generadores congruenciales lineales y los hashes rodantes dependen de multiplicadores invertibles módulo m.

Códigos correctores de errores y reparto de secretos reconstruyen valores a partir de residuos usando TCR.

Calendarios y programación: los problemas de alineación tipo "cada 3, 5 y 7 días" son TCR disfrazado.

Errores comunes y casos límite

No existe inverso cuando mcd(a, m) ≠ 1: por ejemplo, 6 no tiene inverso módulo 9. La herramienta reporta el mcd y se detiene en vez de devolver un número incorrecto.

El TCR clásico exige que los módulos sean coprimos dos a dos; con factores comunes la solución puede seguir existiendo pero requiere la forma generalizada; esta herramienta lo detecta y avisa.

Las entradas negativas se aceptan: los resultados se normalizan al rango 0 … m−1.

La respuesta del TCR es única solo módulo M = ∏m_i; sumar cualquier múltiplo de M da otra solución válida.

m = 1 hace que cada residuo sea 0 y es degenerado: los inversos necesitan m ≥ 2.

Dos caminos al mismo inverso

Hay dos formas estándar de calcular a⁻¹ mod m. El algoritmo de Euclides extendido que se usa aquí es el caballo de batalla: corre en O(log m) pasos y no necesita factorizar m, solo que mcd(a, m) = 1. La alternativa es el teorema de Euler: cuando mcd(a, m) = 1, a^φ(m) ≡ 1 (mod m), así que a⁻¹ ≡ a^(φ(m)−1). Ese camino es elegante pero necesita φ(m), que a su vez requiere la factorización en primos de m: caro para m grande. Cuando m es primo, φ(m) = m−1 y el pequeño teorema de Fermat da el atajo a⁻¹ ≡ a^(m−2) (mod m), la forma usada dentro de muchas bibliotecas criptográficas porque la exponenciación modular en tiempo constante resiste ataques de canal lateral por tiempo. El método de Euclides, en cambio, es el más rápido y el que harías a mano.

Herramientas relacionadas y límites

Esta calculadora va de la mano con una calculadora de MCD/Euclides y una de exponenciación modular (para aⁿ mod m, que usa el cifrado RSA en sí). Como los resultados usan doubles de JavaScript, los productos mayores que 2⁵³ pierden precisión entera exacta: bien para módulos de libro de texto, no para claves criptográficas de 2048 bits, que requieren bibliotecas de enteros grandes. El TCR generalizado para módulos no coprimos (descomponiendo cada módulo en potencias de primos y fusionando restricciones compatibles) y el camino del teorema de Euler son los siguientes temas naturales una vez que el caso coprimo está dominado.

Calculadora de inverso modular y TCR

Preguntas frecuentes

Calculadoras de Matemáticas relacionadas