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Calculadora depredador-presa de Lotka-Volterra

Modela la dinámica poblacional depredador-presa con las ecuaciones de Lotka-Volterra. Calcula poblaciones de equilibrio y simula cómo ciclan las poblaciones de presas y depredadores en el tiempo.

Preguntas frecuentes

¿Qué modelan las ecuaciones de Lotka-Volterra?

Las ecuaciones de Lotka-Volterra modelan la dinámica cíclica entre una población de presas y una de depredadores. Las presas crecen exponencialmente sin depredadores; los depredadores declinan sin presas. Juntas producen los ciclos poblacionales oscilantes que se observan en muchos ecosistemas reales.

¿Cuáles son las poblaciones de equilibrio en el modelo de Lotka-Volterra?

El equilibrio de las presas es x* = gamma / delta (tasa de muerte de depredadores entre eficiencia de conversión) y el equilibrio de los depredadores es y* = alpha / beta (tasa de crecimiento de presas entre tasa de depredación). En esos valores, ninguna población cambia en el tiempo.

¿Cuáles son las principales limitaciones del modelo de Lotka-Volterra?

El modelo clásico supone crecimiento ilimitado de las presas, sin capacidad de carga, tasas constantes, sin estructura espacial y solo dos especies. Los ecosistemas reales tienen múltiples especies que interactúan, variabilidad ambiental y efectos dependientes de la densidad que este modelo simplificado no captura.

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Estimaciones solo con fines informativos.

Aviso importante: Estimaciones solo con fines informativos.

Esta calculadora ofrece estimaciones con fines informativos. Los resultados se basan en supuestos y pueden no reflejar resultados reales. Consulta a profesionales calificados en las áreas correspondientes antes de tomar decisiones importantes basadas en estos resultados.

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Cómo funciona esta calculadora

El modelo de Lotka-Volterra describe la dinámica entre una población de presas y una de depredadores con dos ecuaciones diferenciales acopladas. Alfred Lotka y Vito Volterra dedujeron estas ecuaciones de forma independiente en la década de 1920 para explicar los ciclos oscilantes de población que se observan en la naturaleza. El modelo supone que las presas se reproducen a una tasa intrínseca fija, los depredadores consumen presas a una tasa proporcional a la frecuencia con que se encuentran, los depredadores convierten las presas consumidas en descendencia con cierta eficiencia y los depredadores mueren a una tasa fija cuando no hay presas.

Esta calculadora encuentra el equilibrio analítico donde ambas poblaciones son constantes, estima el periodo natural de oscilación alrededor de ese equilibrio y corre una simulación numérica corta usando el método de Euler para mostrar cómo evolucionan las poblaciones desde un punto de partida dado.

Ecuaciones

Las dos ecuaciones que gobiernan el sistema son:

Presas: dx/dt = αx - βxy (las presas crecen a tasa α, los encuentros con depredadores las eliminan a tasa β)
Depredadores: dy/dt = δxy - γy (los depredadores ganan población al convertir presas a tasa δ, mueren a tasa γ)

Aquí x es la población de presas, y es la población de depredadores y t es el tiempo. Los cuatro parámetros α, β, γ y δ deben ser positivos.

Equilibrio

Igualando ambas derivadas a cero se obtiene el equilibrio no trivial: equilibrio de presas x* = γ / δ, y equilibrio de depredadores y* = α / β. En esos tamaños exactos ninguna población cambia. Cualquier perturbación del equilibrio produce una órbita cerrada en el espacio de fases: las poblaciones ciclan indefinidamente alrededor del equilibrio en lugar de converger a él.

El periodo aproximado de una oscilación completa es T = 2π / sqrt(α × γ). Esto es exacto solo para perturbaciones pequeñas cerca del equilibrio; los vaivenes grandes producen ciclos más largos y no sinusoidales.

Ejemplo resuelto

Con los parámetros predeterminados: tasa de crecimiento de presas α = 1.0 por año, tasa de depredación β = 0.1, tasa de muerte de depredadores γ = 0.5 por año, eficiencia de conversión δ = 0.05.

Equilibrio de presas: x* = 0.5 / 0.05 = 10 individuos
Equilibrio de depredadores: y* = 1.0 / 0.1 = 10 individuos
Periodo: T = 2π / sqrt(1.0 × 0.5) = aprox. 8.9 unidades de tiempo

Comenzando con 40 presas y 9 depredadores, la población de presas crece al principio porque hay pocos depredadores, luego la población de depredadores sube cuando hay alimento en abundancia, después las presas se agotan y los depredadores terminan colapsando, lo que reinicia el ciclo. Esta es la oscilación clásica de conejos y zorros.

Supuestos y limitaciones

Ambiente constante: las tasas de nacimiento y muerte no varían con la estación ni con la disponibilidad de recursos.
Sin capacidad de carga: las presas crecen sin límite cuando no hay depredadores. En la práctica, el alimento o el espacio limitan el crecimiento de las presas (la extensión Rosenzweig-MacArthur añade un término logístico).
Mezcla homogénea: todas las presas tienen la misma probabilidad de encontrarse con cualquier depredador. Se ignora la estructura espacial.
Sin estructura por edades: todos los individuos de una especie son idénticos en sus tasas.
Determinista: el modelo no puede capturar eventos de extinción impulsados por fluctuaciones aleatorias en poblaciones pequeñas.
La simulación de Euler que se muestra usa un paso fijo dt = 0.5 y 10 pasos, solo a modo ilustrativo. Para trayectorias precisas a largo plazo, usa un paso más pequeño (dt = 0.01 o menor) o un solver tipo Runge-Kutta.

Consejos y preguntas frecuentes

¿Qué representan biológicamente los parámetros? α es la tasa de nacimiento per cápita de las presas en ausencia de depredadores. β escala la tasa a la que los encuentros depredador-presa llevan a la muerte de una presa. δ es la fracción de biomasa de presa consumida que se convierte en descendencia del depredador. γ es la tasa de muerte per cápita de los depredadores cuando no hay presas.

¿Por qué a veces las poblaciones son negativas en la simulación? El método de Euler puede sobrepasar cuando los pasos son grandes en comparación con la tasa de cambio. La calculadora recorta las poblaciones a cero para evitar valores negativos, pero los resultados pueden ser imprecisos para combinaciones extremas de parámetros. Usa la tabla de simulación solo como guía cualitativa.

¿Cómo elijo parámetros realistas? Los valores en la literatura varían bastante. Para liebres americanas y linces, una calibración aproximada da α cerca de 0.5, β cerca de 0.02, γ cerca de 0.8 y δ cerca de 0.03. Escala β y δ juntas: si cambias las unidades del conteo poblacional, ambos parámetros deben ajustarse proporcionalmente.

¿Cuál es la diferencia entre poblaciones de equilibrio e iniciales? El equilibrio es donde el sistema permanecería si lo colocaras allí exactamente. Empezar fuera del equilibrio produce oscilaciones. Cuanto más cercano sea el punto inicial al equilibrio, menor será la amplitud del ciclo resultante.