Preguntas frecuentes
¿Cuándo es diagonalizable una matriz?
Cuando tiene tantos autovectores linealmente independientes como su dimensión. Los autovalores distintos lo garantizan; los repetidos requieren revisar la dimensión del autoespacio.
¿Para qué se usa la diagonalización?
Las potencias de A se vuelven A elevado a n igual a P D elevado a n por P inversa: solo se eleva cada entrada diagonal. Útil para resolver recurrencias, calcular exponenciales de matrices y analizar sistemas dinámicos.
¿Qué es una matriz defectiva?
Una matriz que no es diagonalizable: tiene un autovalor repetido con menos autovectores que la multiplicidad. Ejemplo: [[1, 1], [0, 1]].
¿Cómo se diagonaliza una matriz paso a paso?
Halla los autovalores con det(A − λI) = 0, halla un autovector para cada uno, coloca los autovectores como columnas de P y los autovalores en la diagonal de D. Entonces A = PDP⁻¹, siempre que tengas suficientes autovectores independientes.
¿Se puede diagonalizar cualquier matriz?
No. Una matriz es diagonalizable solo si tiene un conjunto completo de autovectores linealmente independientes. Un valor propio repetido sin suficientes autovectores hace que la matriz sea defectuosa; algunas matrices reales además solo se diagonalizan sobre los números complejos.
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