Calculadora de integración numérica

Preguntas frecuentes

¿Cuándo necesito integración numérica?

Cuando una integral no tiene antiderivada cerrada o solo cuentas con puntos de datos muestreados en lugar de una fórmula.

¿En qué se diferencian las reglas?

La regla del trapecio ajusta segmentos rectos, la del punto medio usa la altura central y la de Simpson ajusta parábolas: Simpson es mucho más precisa con funciones suaves.

¿Cómo escala la precisión?

El error del trapecio y del punto medio decrece como 1/n², el de Simpson como 1/n⁴, así que duplicar las subdivisiones reduce el error de Simpson en cerca de 16×.

¿Qué reporta la herramienta?

La estimación de cada regla y la diferencia entre ellas, que da una idea rápida del error restante.

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Estimaciones solo con fines informativos.

Aviso importante: Estimaciones solo con fines informativos.

Esta calculadora ofrece estimaciones con fines informativos. Los resultados se basan en supuestos y pueden no reflejar resultados reales. Consulta a profesionales calificados en las áreas correspondientes antes de tomar decisiones importantes basadas en estos resultados.

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Cómo funciona esta calculadora

La integración numérica estima la integral definida ∫_a^b f(x) dx (el área con signo bajo una curva) cuando no existe una antiderivada cerrada. El intervalo [a, b] se divide en n franjas de ancho h = (b−a)÷n. La regla del trapecio une los extremos con líneas rectas: área ≈ h[½f(a) + f(x₁) + … + ½f(b)]. La regla del punto medio usa un rectángulo de altura f en el centro de cada franja. La regla de Simpson ajusta una parábola por cada par de franjas, ponderando los puntos interiores 4, 2, 4, 2, …: es exacta para polinomios cúbicos y converge mucho más rápido. Esta herramienta incluye un parser de descenso recursivo escrito a mano que soporta + − * ÷ ^, x, sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, pi y e: sin eval() de JavaScript, así que una expresión nunca podrá ejecutar código arbitrario.

Ejemplo resuelto: ∫0π sin x dx

El valor exacto es 2. Con n = 8 la regla del trapecio da ≈ 1.9742: subestima porque el seno es cóncavo, así que las cuerdas quedan debajo de la curva. La regla del punto medio da ≈ 2.0129, sobreestimando desde el lado opuesto. La regla de Simpson, que las combina en una proporción 2:1 (la misma combinación que codifica la fórmula de Simpson), devuelve ≈ 2.0001: tres dígitos correctos con solo ocho franjas. Duplicar n reduce el error del trapecio en 4× (es O(h²)), pero el de Simpson en 16× (O(h⁴)), y por eso Simpson es el caballo de batalla por defecto.

Dónde se usa la integración numérica

Física e ingeniería: trabajo, centro de masa y carga eléctrica a partir de datos muestreados sin una fórmula cerrada.

Estadística: áreas bajo la curva normal (no existe antiderivada elemental de e^−x²).

Finanzas: valor esperado e integrales de valoración de opciones que se resuelven por cuadratura.

Gráficos por computadora y aprendizaje automático: Monte Carlo y cuadratura para iluminación, render y evidencia bayesiana.

Errores comunes y casos límite

Pocas franjas en una función oscilante o muy curvada producen una mala estimación: aumenta n y observa cómo se estabilizan los valores.

La regla de Simpson necesita un número par de franjas; esta herramienta sube un n impar al siguiente par automáticamente.

Las singularidades (por ejemplo 1÷x cerca de 0 o ln de un número negativo) generan infinitos o NaN: la herramienta reporta un error de dominio en lugar de inventar un número.

Usa × de forma explícita: escribe 2*x, no 2x; el parser no asume multiplicación implícita.

Invertir los límites cambia el signo: ∫_b^a = −∫_a^b.

Por qué gana la regla de Simpson

Las tres reglas se diferencian en el polinomio que ajustan a cada trozo de la curva. La del punto medio usa una recta horizontal (grado 0) pero es sorprendentemente precisa porque sus excesos y defectos se cancelan en parte; su error es O(h²). La del trapecio ajusta una recta (grado 1) y tiene el mismo orden O(h²), pero con un coeficiente del doble de magnitud y de signo opuesto al del punto medio. La de Simpson aprovecha justamente eso: la combinación (2×punto medio + trapecio)÷3 cancela el término de error principal, ajusta una parábola (grado 2) y salta a una precisión O(h⁴). De hecho es exacta para cualquier polinomio cúbico, un grado más alto de lo que sugeriría su base parabólica, gracias a una cancelación por simetría: un orden extra gratis que la convierte en la opción por defecto para integrandos suaves.

Herramientas relacionadas y límites

Este es un método de Newton-Cotes de paso fijo; la cuadratura adaptativa (que subdivide solo donde la curva se dobla con fuerza) y la cuadratura gaussiana (que elige puntos de muestreo óptimos en lugar de equiespaciados) alcanzan la misma precisión con muchas menos evaluaciones en integrandos difíciles. Para una respuesta simbólica exacta necesitas una herramienta de antiderivadas simbólicas, no un muestreo numérico. La combinación del trapecio y el punto medio en la regla de Simpson es ya una pista de la extrapolación de Richardson, el siguiente tema natural. Los resultados se muestran con 8 decimales; cerca de singularidades o con n muy grande, el redondeo de punto flotante termina dominando al error de truncamiento y la precisión deja de mejorar.

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